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二元关系

来源:未知 发布时间:2021-02-16 17:46 标签:正在对称数目二元传达
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  本词条由“科普中邦”科学百科词条编写与操纵就业项目

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  。

  数学上,二元相闭用于研究两个数学对象的闭联。诸如算术中的「大于」及「等于」,几何学中的"犹如",或凑集论中的"为...之元素"或"为...之子集"。二元相闭有时会简称相闭,但寻常而言相闭不必是二元的。

  中文名

  二元相闭

  外文名

  Binary 二元关系 Relation

  实用周围

  数理科学

  1

  界说

  2

  出格的二元相闭

  3

  本质

  4

  相闭矩阵

  5

  相闭图

  6

  相闭的运算

  7

  相闭的闭包

  8

  二元相闭的数目

  编辑

  凑集X与凑集Y上的二元相闭是R=(X,Y,G(R)),个中G(R),称为R的图,是笛卡儿积X×Y的子集。若 (x,y) ∈G(R) ,则称x是R-相闭于y,并记作xRy或R(x,y)。不然称x与y无相闭R。但常常地咱们把相闭与其图等同起来,即:若R?X×Y,则R是一个相闭。比方:有四件物件 {球,糖,车,枪} 及四片面 {甲,乙,丙,丁}。 若甲具有球,乙具有糖,及丁具有车,即无人有枪及丙环堵萧然— 则二元相闭"为...具有"便是R=({球,糖,车,枪}, {甲,乙,丙,丁}, {(球,甲), (糖,乙), (车,丁)})。个中 R 的首项是物件的凑集,次项是人的凑集,而末项是由有序对(物件,主人)构成的凑集。比方有序对(球,甲)∈G(R),是以咱们可写作"球R甲",外现球为甲所具有。分歧的相闭能够有相通的图。以下的相闭 ({球,糖,车,枪}, {甲,乙,丁}, {(球,甲), (糖,乙), (车,丁)} 中人人皆是物主,是以与R分歧,但两者有相通的图。话虽如斯,咱们许众时辰干脆把R界说为G(R), 而 "有序对 (x,y) ∈G(R)" 亦即是 "(x,y) ∈R"。二元相闭可看作成二元函数,这种二元函数把输入元x∈X及y∈Y视为独立变量并求真伪值(即“有序对(x,y) 是或非二元相闭中的一元”此一题目)。若X=Y,则称R为X上的相闭。

  编辑

  注:下文咱们将采用把二元相闭R界说为A × A的子集的做法。设A是一个凑集,则:空集?称作A上的空相闭(由于?也是A × A的子集)。EA=A × A称作A上的全域相闭。IA={(x,,x): x∈A} 称作A上的恒等相闭。

  [1]

  编辑

  相闭的本质紧要有以下五种:自反性,反自反性,对称性,破坏称性和传达性。自反性:

  。正在凑集X上的相闭R,如对轻易

  ,有

  ,则称R是自反的。反自反性(自反性的否认的强花样):

  。正在凑集X上的相闭R,如对轻易

  ,有

  ,则称R是反自反的。对称性:

  。正在凑集X上的相闭R,倘若有

  则必有

  ,则称R是对称的。破坏称性(不是对称性的否认):

  。非对称性(对称性的否认的强花样):

  。非对称相闭是满意反自反性的破坏称相闭。传达性:

  。实例例1:设A={1,2,3},R1,R2和R3是A上的相闭,个中:R1={<1,1>,<2,2>};R2={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>};R3={<1,3>},则R1不是自反的,R3是反自反的,R2是自反的但不是反自反的。例2:设A={1,2,3},R1,R2,R3和R4是A上的相闭,个中:R1={<1,1>,<2,2>};R2={<1,1>,<1,2>,<2,1>};R3={<1,2>,<1,3>};R4={<1,2>,<2,1>,<1,3>},则R1既是对称的也是破坏称的。R2是对称的但不是破坏称的。R3是破坏称的但不是对称的。R4既不是对称的也不是破坏称的。例3:设A={1,2,3},R1,R2和R3是A上的相闭,个中:R1={<1,1>,<2,2>};R2={<1,2>,<2,3>};R3={<1,3>},则R1和R3是A上的传达相闭,R2不是A上的传达相闭。

  [2]

  编辑

  设

  及

  ,R是X与Y上的二元相闭,令

  ,则0,1矩阵

  称为R的相闭矩阵,记作MR。

  [3]

  编辑

  设R凑集A到B上的二元相闭,令图G=(V,E),个中极点凑集

  ,边凑集为E ,且看待轻易的

  ,规章

  当且仅当

  。则称图G是相闭R的相闭图。

  [4]

  编辑

  相闭的根本运算有以下几种:设R为二元相闭。R中全豹有序对的第一元素组成的凑集称为R的界说域,记作dom(R),即

  。R中全豹有序对的第二元素组成的凑集称为R的值域,记作ran(R) ,即

  。R的界说域和值域的并集称作R的域,记作fld(R),即

  。R的逆相闭,简称R的逆,记作

  ,个中

  。设S也是一个二元相闭。R和S的合成记作

  ,其界说为

  。若R是一个凑集A上的二元相闭,能够正在自然数周围内界说R的n次幂。最初规章

  ,再递归界说

  。能够注明有

  ,

  树立。

  [5]

  与相闭本质的闭联设R为凑集A上的相闭,下面给出的六种本质树立的充要前提:R正在A上自反当且仅当

  ;R正在A上反自反当且仅当

  ;R正在A上对称当且仅当

  ;R正在A上破坏称当且仅当

  ;R正在A上非对称当且仅当

  ;R正在A上传达当且仅当

  。

  编辑

  设R好坏空凑集A上的相闭, R的自反(对称或传达)闭包是A上的相闭R ,满意:(1) R是自反的(对称的或传达的)。(2)

  。(3) 对A上任何包罗R的自反(对称或传达)相闭R有

  。

  [6]

  寻常将R的自反闭包记作r(R),对称闭包记作s(R) ,传达闭包记作t(R)。下列给出了构制闭包的手法:

  ;

  ;

  。看待有限凑集A 上的相闭R ,存正在一个正整数s,使得

  ,且s不赶过A的元素数。

  [6]

  求传达闭包是图论中一个特殊紧要的题目,比方给定了一个都市的交通舆图,可使用求传达闭包的手法获知轻易两个位置之间是否有途相连通。能够直接使用相闭矩阵相乘来求传达闭包,但那样做庞大度较量高;好一点的举措是正在谋划矩阵相乘的时辰用分治法下降韶华庞大度;但最好的手法是使用基于动态经营的Floyd-Warshall算法来求传达闭包。

  编辑

  正在一个有n个元素的凑集(简称n元素集)上,一共有

  个大概的二元相闭。正在n元素集上各样二元相闭的数目n全豹传达自反预序偏序全预序全序等价相闭011111111122111111216134433223512171642919136546553639944096355219752415OEISA002416

  [7]

  A006905

  [8]

  A053763

  [9]

  A000798

  [10]

  A001035

  [11]

  A000670

  [12]

  A000142

  [13]

  A000110

  [14]

  注:反自反相闭和自反相闭的数目雷同众。厉峻偏序(反自反的传达相闭)的数目和偏序的雷同众。全序即是那些同时是全预序的偏序。透过容斥道理的思法,可知那些既不是偏序也不是全预序的预序数目是:预序的数目,减去偏序的数目,再减去全预序的数目,最後加上全序的数目,即0, 0, 0, 3, 85, ...等价相闭的数目是凑集划分的数目,即贝尔数。各个二元相闭之间可构成二元组(某相闭及其补集),除了正在n=0时,空相闭的补集即其本身。那些不适应对称性的二元相闭也可构成四元组(某相闭、补集、逆、逆的补集)。

  词条图册

  更众图册

  参考材料

  1.

  屈婉玲,耿素云,张立昂.离散数学:清华大学出书社,2008:116

  2.

  萧树铁 主编 居余马 李海中 编著.大学数学-代数与几何:上等教训出书社,2003

  3.

  徐凤生.离散数学及其操纵:呆滞工业出书社,2006:79

  4.

  马振华.离散数学诱掖:清华大学出书社,1993:258

  5.

  第七章 二元相闭§7.3 相闭的运算

  .cse.seu.edu.cn[援用日期2013-11-19]

  6.

  屈婉玲, 耿素云, 张立昂.离散数学:清华大学出书社,2005:129-130

  7.

  A002416

  .OEIS[援用日期2013-11-17]

  8.

  A006905

  .OEIS[援用日期2013-11-17]

  9.

  A053763

  .OEIS[援用日期2013-11-17]

  10.

  A000798

  .OEIS[援用日期2013-11-17]

  11.

  A001035

  .OEIS[援用日期2013-11-18]

  12.

  A000670

  .OEIS[援用日期2013-11-18]

  13.

  A000142

  .OEIS[援用日期2013-11-18]

  14.

  A000110

  .OEIS[援用日期2013-11-18]

  睁开全面

  收起


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